陶哲轩：用了GPT

发布时间：2025-11-05 04:18:07 来源：儋州市某某人力咨询经销部 作者：综合

机器之心报道

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说起对 AI 的陶哲使用，著名数学家陶哲轩可谓是轩用最具代表性的一位。

这位菲尔兹奖得主，陶哲营口市某某电子打标设备教育中心不仅在数学领域不断拓展边界，轩用如今也积极尝试与 AI 协作，陶哲探索人工智能在数学研究中的轩用真正潜力。

他最近使用 ChatGPT-5 Pro 挑战一个自己并不熟悉的陶哲开放问题，曲率有界的轩用球面（Sphere with bounded curvature），并在过程中详细记录了 AI 在不同层面上带来的陶哲帮助与局限。

虽然问题本身依然没有解决，轩用但陶哲轩表示自己使用 AI 工具的陶哲感悟已经比以前深入得多：要评估一个工具的价值，必须从多个层面来衡量

简单来说：

• 在小尺度上（例如具体推导、轩用计算等任务），陶哲AI 非常有用；
• 在中尺度上（例如策略选择、轩用方向判断），陶哲AI 帮助有限，甚至有时会产生干扰；
• 而在宏观尺度上（例如对整体问题结构和关键困难的把握），AI 又重新展现了价值。

接下来，我们看陶哲轩的营口市某某电子打标设备教育中心研究过程。

「Sphere with bounded curvature」涉及这样一个问题：

在三维欧几里得空间 R^3 中，若一个光滑沉浸球面的两个主曲率的绝对值都不超过 1，那么它所包围的体积是否至少不小于单位圆球的体积？

在陶哲轩看来，这更像是一个变分问题，于是他将这个问题分成两个部分来研究：

• 微扰区（perturbative regime）：浸入球面与标准圆球非常接近；
• 非微扰区（non-perturbative regime）：浸入球面与圆球相差很大。

陶哲轩表示由于自己对这个问题缺乏足够的几何直觉，加上手头大多数分析工具主要适用于微扰情形，他推测问题的关键或许正隐藏在这一部分，于是决定将主要精力集中在微扰区的研究上。

此前，有评论指出该问题的凸面情形过于简单，缺乏研究意义。于是，陶哲轩决定将注意力转向一个更具一般性的类别星形（star-shaped）对象。

他当时猜想，也许可以将问题的假设与结论都用曲面上的积分形式来表达，然后借助一些积分不等式来推进证明。然而，由于自己在微分几何方面的知识已较为生疏，他便请 AI 代为进行相关计算

令他颇感意外的是，AI 不仅准确计算出了所有所需量，甚至还给出了星形情形下的完整证明。它利用多种积分恒等式和不等式对问题进行了推导，其中有一些陶哲轩十分熟悉，例如斯托克斯定理（Stokes’ theorem）、Willmore 不等式 / Gauss–Bonnet 定理；但也引入了他此前从未接触过的工具，如 Minkowski 第一积分公式（Minkowski’s first integral formula）。

在综合这些不等式后，AI 给出的星形情形证明竟然只需一行推导即可完成

这一结果让陶哲轩感到十分震撼，但他依然选择亲自验证 AI 给出的证明步骤。经过查阅资料，他发现网上虽然有不少关于 Minkowski 公式的重述，却鲜有完整的证明过程。于是，他再次向 AI 求助。AI 随即提供了两个独立且令人信服的证明版本：一个基于陶哲轩原本设想的散度定理（divergence theorem） 方法，另一个则采用了他此前未曾考虑过的流方法（flow method）。

验证完成后，陶哲轩发现该推理进一步揭示了一个有趣的结论：标准圆球是唯一的极小化解，并且当曲面偏离圆球形状时，其所包围的体积反而增大。这个发现令他深受鼓舞。随后，他决定让 AI 进一步分析「almost round」的情形，即平均曲率接近 1 的状况。他计划将此问题视为一个微扰型椭圆偏微分方程（elliptic PDE）问题来研究，借助椭圆正则性与强制性估计等工具，尝试完善对这一特例的证明。

AI 在这一阶段的表现同样出色。它准确地推导出：如果平均曲率足够接近 1，那么通过一个椭圆型强制性估计，确实可以证明该定理成立。更令人惊讶的是，AI 还主动指出，这一结论其实并非新的发现，因为平均曲率接近 1 这一假设本身就隐含了星形性（star-shapedness）的条件！

当然，AI 在处理中也并非完美。它在估计一个微扰非线性项时出现了轻微误差，不过这种错误并不严重，大致相当于一位非线性偏微分方程（nonlinear PDE）专家在初步推导时可能犯下的常见失误。

在陶哲轩看来，这一结果更像是 PDE 理论中的一个小数据（small data）情形，即问题在小范围内可控，但大数据（large data）情形仍未解决。结合问题的椭圆特性与曲率有界性，他推测整体上可能具有足够的紧致性，从而可以将问题转化为一个有限但庞大的数值 PDE 计算问题。

他将这一想法告诉 AI，AI 也表示认可，并提供了一个可行的数值方案轮廓。然而，这种方法本质上是一种暴力搜索，需要对所有可能的曲面形状进行穷尽式计算，既繁琐又缺乏理论启发性。

在小尺度上，也就是完成具体计算、推导和验证等任务时，AI 的表现依然十分出色。除了极少数小错误外，它提供了若干实用且文献中确有记载的证明。

不过，随着研究的推进，陶哲轩意识到，若要进一步取得实质性突破，就需要真正的微分几何专家介入，以避免陷入冗长乏味的暴力枚举计算。于是，他决定先将当前得到的关键推理与结果整理成文章，并将其发布在 MathOverflow 上，以便吸引更多专家的讨论。

发布之后，他注意到在原问题的评论区中，有人指出该问题的二维版本其实早已被解决，这正是著名的 Pestov–Ionin 定理，甚至在维基百科上就有独立的条目。当陶哲轩点开页面并看到附图时，他才惊讶地发现，自己的直觉其实相当有偏差。

他原本假设值得关注的主要是那些 nearly round 的集合；然而图中的例子却展示了另一类极端情形：一些形状相对圆润的部分，被细长的管状结构相互连接，形成整体上远离圆球但仍满足条件的曲面。这一发现让他意识到，问题的难点并不在微小偏差的分析上，而在于如何理解那些极端非圆的几何形态。

在对比新的直觉与自己此前采用的研究策略时，陶哲轩意识到，自己曾犯下一个关键性假设错误，他默认沉浸球面的内径是有界的，并在强制性分析中隐含使用了这一前提。事实上，他原本设想的数值方法，也许能在给定直径范围内的情形下于有限时间内求解问题，但对于一般情形则无能为力。

值得注意的是，AI 在这一阶段并未指出这一漏洞，反而表现出典型的过度认同式行为，几乎赞同陶哲轩提出的所有思路。因此，在中尺度层面，即整体策略制定方面，AI 的帮助并不大。它在无意中强化了陶哲轩对问题的错误直觉，而非挑战或纠正。

不过，这次反思让陶哲轩对问题的核心难点有了更清晰的认识，真正需要应对的难题，是那些极度偏离圆形的曲面。这些曲面往往包含非常细长的圆柱、薄片或其他瘦长结构，它们在体积上贡献甚微，却能显著拉伸几何结构。由此，他意识到自己原先依赖的那些方法在这里并不适用。

进一步的阅读使他了解到，星形情形实际上是问题中最容易的一种特殊情形。该部分的二维版本曾在 Pankrashkin 的论文中出现，而三维的替代性处理方式则出现在 Qiu 的最新论文中。

最终，陶哲轩总结认为，这个问题超出了他现有数学工具箱的能力范围，目前依然是一个开放问题。不过，从大尺度的角度来看，也就是在加深对问题结构和难点的理解层面上，AI 的使用仍然是有益的。虽然这种帮助主要是间接的，但它让他能更快速地探索、验证并舍弃那些不合适的思路；同时，他也因此学到了若干此前并不了解的微分几何知识。

陶哲轩还将这次经历与自己早前的另一场实验进行了比较。在那次实验中，他对问题的结果已有较强直觉，因此更容易判断 AI 的正确性。而在这次研究中，AI 的表现则更具创造性，提出了他此前未曾想到的思路，但也让人更难以信任和引导其朝有效方向推进。

他最后总结道：在自己专业领域之外与 AI 协作，确实有探索价值，但必须保持谨慎与情境意识，否则很容易被似是而非的直觉所误导。

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